1，何为均值不等式？

既然叫均值不等式，那肯定和平均值有关。

那么首先问大家一个问题，我们初中学习的求平均值的方法是什么？

没错，就是把几个数相加，然后用和去除以总个数。

这种求平均值的方式我们叫做求算术平均值。

又提到数学上的CP了。数学上，算术和几何也是一对CP。

也就说，既然有求算术平均值，那么相对应的就有求几何平均值。

算术平均值是把数相加，几何平均值则是把数相乘；

算术平均值用和除以总个数，几何平均值用积开总个数次方。

而均值不等式就是表示相同数之间的算术平均值与几何平均值之间的关系的不等式。

几个数的算术平均值永远≥几何平均值。

对于两个数来说：

对于三个数来说：

以此类推，对于n个数来说：

何时取到等号？

当且仅当所有数都相等时取到=，有任何一个数不相等则为>号。

2，均值不等式的应用。

均值不等式实际上表示的是几个数相加与相乘的关系，因此当一道题需要在几个数相加与相乘之间相互转换时，就可以考虑均值不等式了。

比如：

3，均值不等式的拓展——四均值不等式。

其实平均数除了上面说的算术平均数和几何平均数之外，还有调和平均数和均方根，它们之间也有固定的不等关系：

其中第一个式子叫调和平均数，第四个式子叫做均方根。

4，最值定理。

由均值不等式，我们可以推导出最值定理：

设x>0，y>0，由均值不等式可知：

（1）若积x*y=p（定值），则和x+y有最小值

（2）若和x+y=p（定值），则积x*y有最大值

心法口诀是：积定和最大，和定积最大。

5，对勾函数。

均值不等式往往与一种叫做对勾函数的函数相对应。

为什么叫对勾函数，大家看看它的图像就明白了。

是不是像正反两个对勾？

那么对勾函数的函数解析式是什么呢？

就是一个正比例函数+一个反比例函数。

f(x)=ax+b/x，其中，a*b>0。

为什么说对勾函数与均值不等式是绝配呢？

因为对勾函数的相加的两项由加变乘之后，x正好约分掉了，只剩下了数。

所以，以后大家只要看到这种形式的函数解析式，优先想到的就应当是均值不等式。

当a>0,b>0时，根据均值不等式，取到最小值为2√ab。

但是大家仔细观察对勾函数的图像，整体来说是无限大、无限小的，那么我们为什么还能求出最小值呢？

别忘了我们的前提条件，a>0，b>0，也就是说，我们所求的最小值只是其右边部分图像的最小值，而不是其整体的最小值，这点一定要注意。

因为整个对勾函数的图像是关于坐标原点中心对称的，所以当a<0，b<0时，其可以取到最大值为-2√ab。

关于对勾函数求最大值、最小值问题有一种常见的变形形式：

f（x）=ax+b/(x+c）。

这种变形形式的特点是，直接对前后两项使用均值不等式，无法将x约分掉了。

那么解这种对勾函数型式时，我们需要先把前后两项凑成用均值不等式可以约分掉x的形式后，再使用均值不等式。

也就是说，我们先把他转化为f（x）=a(x+c)+b/(x+c）-ac的形式，这样前两项就可以使用均值不等式了。

得出右半部分的最小值为2√ab-ac。

那么其左边部分的最大值是多少呢？这是个易错点。

根据中心对称，左半部分最大值为-2√ab-ac。

也就是说，只有用到均值不等式得到的解的部分中心对称变为相反数，其余未用到均值不等式部分不变相反数。

6，均值不等式常见题型。

均值不等式一般在高考时考填空题，填空题大部分出法举例：

已知a+b=2，a>0，b>0，求4/a+6/b的最小值？

我们一般看到这种给与a和b关系的题，总爱习惯性的用a去表示b或者用b去表示a，然后代入后面的式子中。

但是，这种题型不是这么做，而是用a和b两个字母代替数字。

也就是说，这道题应当将4/a中的4转化为2a+2b，将6/b中的6转化为3a+3b。

这样式子就变成了（2a+2b）/a+（3a+3b）/b的形式了。

用分子上的多项式除以分子上的单项式可得：2+2b/a+3a/b+3。

其中第一项和第四项可以合并同类项，第二项与第三项可以使用均值不等式，由此便可求出其最小值为5+2√6了。

均值不等式还有一些变形形式，都是通过我们讲的这几种形式转化而得到的，我们就不一一列举了。

学数学就是知一而懂三，掌握最基础，以不变应万变。